命题推理

推理是从前提出发推出结论的思维过程。

在命题逻辑中，前提和结论都是命题公式，重点研究推理中用到的方法。

推理

由前提 A 推出结论 B 的形式结构为 $A → B$。

若有 n 个前提，则推理的形式结构为

\[(A_1 ∧ A_2 ∧ \cdots ∧ A_n) → B\]

若形式结构为永真式，则称从前提推出结论的推理正确，结论是前提的逻辑结论。否则称推理不正确。

若 $A → B$ 为永真式，则可记作 $A ⇒ B$。

我们之前学过几种判断永真式的方法：

• 真值表法
• 命题演算
• 主析取范式

推理规则

在证明的任何步骤上，可以

• 前提引入：引入前提。
• 结论引入：将结论作为前提引入。
• 置换规则：使用等值式简化公式。

推理定律

推理定律指永真蕴涵式。主要有以下 8 条：

（1） 附加

\[A ⇒ (A ∨ B)\]

（2）化简

\[(A ∧ B) ⇒ A\]

（3）假言推理

\[(A → B) ∧ A ⇒ B\]

（4）拒取式

\[(A → B) ∧ ¬B ⇒ ¬A\]

（5）析取三段论

\[(A ∨ B) ∧ ¬B ⇒ A\]

（6）假言三段论

\[(A →B ) ∧ (B → C) ⇒ (A → C)\]

（7）等价三段论

\[(A ↔ B) ∧ (B ↔ C) ⇒ (A ↔ C)\]

（8）构造三段论

\[(A → B) ∧ (C → D) ∧ (A ∨ C) ⇒ (B ∨ D)\]

除了上述 8 条，每个等值式均产生 2 个推理定律。

如 $A ⇔ ¬¬A$ 可以产生两条推理定律：

\[A ⇒ ¬¬A \\ ¬¬A ⇒ A\]

构造证明法

推理的过程中，不断地用前提推出一些结论，并将已经推出的结论作为新的前提，最终得到我们想要的结论。这种方法称为构造证明法。

给出以下推理：

\[\text{前提：}p → (q ∨ r), ¬s → ¬q, p ∧ ¬s \\ \text{结论：}r\]

推理的证明如下：

\[\begin{align} &\text{1. } p ∧ ¬s &\text{前提引入} \\ &\text{2. } p &\text{1 化简} \\ &\text{3. } ¬s &\text{1 化简} \\ &\text{4. } p → (q ∨ r) &\text{前提引入} \\ &\text{5. } q ∨ r &\text{2 4 假言推理} \\ &\text{6. } ¬s → ¬q &\text{前提引入} \\ &\text{7. } ¬q &\text{3 6 假言推理} \\ &\text{8. } r &\text{5 7 析取三段论} \\ \end{align}\]

附加前提证明法

若需要证明的结论也是蕴涵式，如：

\[(A_1 ∧ A_2 ∧ ··· ∧ A_n) → (A → B)\]

则其形式结构可转化为：

\[(A_1 ∧ A_2 ∧ ··· ∧ A_n ∧ A) → B\]

其中 A 为附加前提。

归谬法

利用蕴涵等值式可将推理结构转化为：

\[¬(A_1 ∧ A_2 ∧ ··· ∧ A_n ∧ ¬B)\]

若附加前提 $¬B$ 和已知前提不相容，则推理正确。